Українка В'язовська здійснила прорив у математиці
Українська математикиня Марина В'язовська зі своєю командою знайшла універсальний спосіб, який вирішує цілий клас проблем про те, як найкраще розмістити у 8- та 24-вимірних просторах точки, які відштовхуються одна від одної. Це називають "проривом на рівні видатних математичних відкриттів дев'ятнадцятого століття".
Щоб пояснити на фізичних прикладах:
У фізичному світі це може бути, наприклад, "нескінченний" набір електронів, які відштовхуються один від іншого з метою встановити конфігурацію якнайменшої густини.
Або точки, що представляють центри довгих закручених полімерів у розчині, які намагаються не склеїтися докупи.
Таких проблем безліч - і досі було неочевидно, що у всіх них те саме математичне розв'язання. У більшості вимірів, вважають математики, це не так.
Але виміри 8 та 24 виявилися симетрично конфігурованими. Мовою математики, вони мають "універсально оптимальні" конфігурації.
Раніше В'язовська довела, як найщільніше розмістити сфери однакового розміру у вимірах 8 та 24 - тепер її робота стала більш "загальною".
Наразі виміри 8 та 24 - як і одновимірна лінія - єдині відомі виміри, які мають універсально оптимальні конфігурації. Ще одним кандидатом на таку конфігурацію є рівносторонній трикутник у двовимірній площині - але це не доведено.
Натомість у відомому нам із чуттів тривимірнму просторі все не так. Різні конфігурації точок кращі в різних обставинах - а для деяких проблем математики досі не знають, яка конфігурація точок є оптимальною.
"Міняєш вимір або трішки міняєш задачу - й речі можуть стати цілком невідомими. Я не знаю, чому так збудовано математичний усесвіт", - каже Річард Шварц, математик з Браунського університету.
Може здатися дивним, що виміри 8 чи 24 поводяться інакше, ніж, скажімо, виміри 7, чи 18, чи 25. Але математики віддавна знали, що задача оптимального розміщення об'єктів у просторі по-різному працює в різних вимірах.
У тривимірному просторі найкращою є "піраміда апельсинів" (так розміщуються ядра гармат - хоча це робили інтуїтивно задовго до математичного доведення). Подібну "підаміду" можна створити для будь-якого вищого виміру - але зі збільшенням виміру, зростають проміжки між сферами.
Однак у восьмому рівні раптом стає досить місця, щоб нові сфери розміщувати у ці проміжки. Те саме знову відбувається у вимірі 24.
Ці дві математичні гратки (решітки) з невідомих математикам причин є універсальними для різних сфер математики - від теорії чисел до аналізу математичної фізики.
Математики давно на основі непрямих доказів підозрювали, що ці гратки (решітки) є універсально оптимальними - проте не уявляли, як це довести.
У 2016 році В'язовська здійснила перший крок для доведення - а зараз здійснено важливіший, бо більш універсальний доказ.
Команда математиків, які здійснили прорив:
***
